Pasatiempos matemáticos

Con su coche tuneao, Pinsapo llega a una república donde nadie conoce la cifra 3. Allí se cuenta así: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15...

¿Qué número emplearán para nuestro número 100 (es decir, para una cantidad de cosas que nosotros contaríamos como 100)?

Solución:
Como hemos visto, al faltarles una cifra, cuando llegan al 4 en realidad tienen 3 de los nuestros, por lo que su 10 en realidad es nuestro 9. De la misma forma, se saltan un número entre el 12 y el 14, por lo que su 14 es nuestro 12. De esta forma, llegan a 29 cuando en realidad tienen 26 objetos (saltan 1 de cada 10). Sin embargo, no pueden usar 30 ni ninguno de los números de esta decena, pues no conocen el 3, así que el número que seguirá a 29 será el 40, equivalente a nuestro 27 (de repente nos "retrasaremos" 10 números).

De esta forma, cuando lleguen al 99, arrastrarán una diferencia de 10 por la decena del 29 al 40 y otros 9 por los saltos que habrán dado en cada decena (una por cada cifra de las decenas, y otra por la primera decena de los números con una cifra). Su 99 equivaldrá, entonces, a nuestro 80. Otra forma de pensarlo sería que han usado todas las parejas de cifras entre el 0 y el 9, sin contar el 3, que son 9 (con el 0 delante se forman los de una sola cifra). Eso haría un total de números de 9*9 = 81, pero como también he contado el 00, pues voy por el número 80.

El caso, es que su 100 es nuestro 81. Nos quedan sólo contar 19 para llegar al 100. Pero si les añadimos 19 números de los suyos, hay que tener en cuenta que no cuentan ni el 103, ni el 113, es decir, que en realidad es el 121 suyo el que vale lo mismo que para nosotros 100.

No es casualidad que 121 en nuestra forma de contar sea 11*11, pero esas coincidencias las podrás ver en otro lugar, si alguna vez descubres otras bases numéricas y formas de contar.

Solución pasatiempo anterior:

Antes de ponernos a hacer pruebas, vamos a hacer unos cálculos rápidos. Si son 7 hormigas, cuando se sientan en una mesa circular, forman 7 parejas (cada una con la de su derecha, ya que la pareja con la de su izquierda está contada al marcar al de la derecha de su compañera sentado a la izquierda). Reunirse 3 noches sin repetir pareja equivale a formar 21 parejas distintas (7 cada noche).

¿Cuántas parejas pueden, realmente, formarse con 7 hormigas? Si seleccionamos a una de las siete hormigas, tenemos 7 posibilidades, y 6 para seleccionar al acompañante. Sin embargo, hay que contar con que la pareja A-B es en realidad la misma que B-A, así que habrá que dividir entre 2 el número resultante, pues cada par de parejas lo contaremos dos veces. Así, podemos obtener 7*6/2 = 21.

Por tanto, si es posible reunirse de esa forma (que aún no lo sabemos), agotaremos todas las posibles parejas, de forma que debemos andar con mucho cuidado.

El número de 7 es manejable, de forma que procederemos a situarlos en la mesa con mucho cuidado de no repetir ninguna pareja. Supongamos que la posición desde A y siguiendo un sentido determinado en la mesa, es ABCDEFG, de forma que tenemos las parejas AB, BC, CD, DE, EF, FG y GA.

Empecemos a colocar las de la segunda noche. Junto a A no podemos sentar a B ni a G, empecemos por sentar a C, junto a C no podemos sentar a B ni a D, y así sucesivamente. Llegamos a una ubicación que puede ser, por ejemplo, ACEBGDF, que nos proporciona las parejas AC, CE, EB, BG, GD, DF y FA.

Para la tercera noche todas las parejas usadas están prohibidas, lo que nos debe dar una única ubicación válida para cada uno, puesto que sólo tendrá dos posibles vecinos de mesa (salvo cambio de sentido). Así, junto a A debe sentarse D y E, y si seguimos así, nos queda la ubicación ADBFCGE, que proporciona las parejas finales AD, DB, BF, FC, CG, GE y EA.

Como la segunda noche hemos usado una ubicación algo arbitraria, es posible que tengamos muchas soluciones más, pero está claro que eso alterará también la composición de la mesa de la tercera noche.